Cossutta utvandrade till Argentina där han 1958 debuterade på Teatro Colón i Buenos Aires. 1965 återvände han till Europa och sjöng hertigens parti i Rigoletto på Covent Garden och längre fram titelpartiet i Don Carlos. Snart följde gästframträdanden på La Scala, Wiener Staatsoper, Grand Opéra i Paris och vid festspelen i Spoleto och Verona. Från 1973 sjöng han också på Metropolitan och var hela tiden knuten till Teatro Colón. Han hade sin styrka i det italienska facket. T.ex. Turiddu i På Sicilien, Manrico i Trubaduren, Cavaradossi i Tosca och Otello.
Om du köper dina biljetter på nedanstående länk så får jag en liten provision